

Lia iniciou sua carreira competitiva em 2002, nas categorias juniores. Nssa época, participou de campeonatos em nível regional – entre as comunas italianas e nacional – entre as províncias, e conquistou duas medalhas. No ano seguinte, participou apenas dos encontros regionais.
Em 2004, fez sua estreia internacional, no Itália vs Espanha, no qual foi a primeira colocada por equipe. No encontro seguinte, o Itália vs Romênia, repetiu o resultado. No concurso geral do Campeonato Nacional Italiano, foi a quarta colocada. No ano posterior, Parolari conquistou a medalha de prata no individual geral, a de ouro no solo e as de bronze nas barras assimétricas e na trave. Internacionalmente, em outros três encontros, a Itália saiu-se vitoriosa de todos.
Em 2006, estreou no Campeonato Europeu de Vólos, na Grécia. Junto a Vanessa Ferrari, Monica Bergamelli, Federica Macrì e Carlotta Giovannini, conquistou sua primeira medalha internacional em competições de grande porte: o ouro por equipes, inédito na história gímnica da nação, ao superar as favoritas Rússia e Romênia. No Itália vs Espanha, conquistou o ouro por equipes e o bronze do geral individual. No evento posterior, um encontro com a Rússia, a atleta contundiu-se no tendão e não disputou o Campeonato Mundial, além de afastar-se das competições por quase um ano